已知函数f(x)满足，f(1)=1/2,f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)(x,y属于R），则f(0)+f(1)+……+f(2013)=?

显示全部楼层 · 2012-10-23 13:29:25

∵f(1)=1/2,f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)(x,y∈R),∴令y=1，得f(x+1)+f(x-1)=2f(x)f(1)=f(x)，即f(x+1)=f(x)-f(x-1)则f(x+2)=f(x+1)-f(x)=f(x)-f(x-1)-f(x)=-f(x-1)，∴f(x+3)=-f(x)，f(x+6)=-f(x+3)=-[-f(x)]=f(x)，故f(x)是周期为6的周期函数。在f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)中，令x=1,y=0,得f(1)+f(1)=2f(1)f(0)，即1/2+1/2=2×(1/2)f(0)，∴f(0)=1，∴f(2)=f(1)-f(0)=1/2-1=-1/2，...

千问 · 2012-10-23 13:29:25

令x=1，y=1，则有f（2）+f（0）=2f(1)f(1)=1/2;令x=0，y=0，则有f（0）+f（0）=2f(0)f(0)，则f（0）=0或f（0）=1令x=y，则有f（2x）+f（0）=2f(x)f（x）令y=1，则有f（x+1）+f（x-1）=f（x）当f（0）=0时，f(1)=1/2f（2）=f（1）-f（0）=1/2,...